Чему равна вероятность суммы совместных событий

Вероятность суммы совместных событий рассчитывается по особой формуле, учитывающей возможность одновременного наступления этих событий. В теории вероятностей такие события называются совместными (не исключающими друг друга).

Формула вероятности суммы совместных событий

Для двух совместных событий A и B вероятность их суммы вычисляется по формуле:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

где:
P(A) - вероятность события A
P(B) - вероятность события B
P(A ∩ B) - вероятность одновременного наступления событий A и B

Графическая интерпретация

Примеры расчета

Пример 1: Бросание игральной кости

Событие A: выпадение четного числа (2,4,6)
Событие B: выпадение числа больше 3 (4,5,6)
P(A) = 3/6 = 0.5
P(B) = 3/6 = 0.5
P(A ∩ B) = 2/6 (4,6)
P(A ∪ B) = 0.5 + 0.5 - 2/6 ≈ 0.6667

Пример 2: Выбор карты из колоды

Событие A: выбор червы
Событие B: выбор дамы
P(A) = 13/52 = 0.25
P(B) = 4/52 ≈ 0.0769
P(A ∩ B) = 1/52 (дама червей)
P(A ∪ B) = 0.25 + 0.0769 - 1/52 ≈ 0.3077

Обобщение на несколько событий

Для трех совместных событий формула принимает вид:

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

Алгоритм расчета для n событий

1. Сложить вероятности всех отдельных событий
2. Вычесть вероятности всех попарных пересечений
3. Прибавить вероятности пересечений тройками
4. Продолжить чередование знаков для пересечений более высокого порядка

Особые случаи

• Для несовместных событий: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
• Для зависимых событий требуется учет условных вероятностей
• При полном совпадении событий: P(A ∪ A) = P(A)

Формула вероятности суммы совместных событий является фундаментальной в теории вероятностей и находит широкое применение в статистике, теории игр, анализе рисков и других областях.