Внешним углом треугольника называется угол, смежный с внутренним углом треугольника. При каждой вершине треугольника можно построить два равных внешних угла, расположенных по разные стороны от продолжения стороны.
Содержание
Определение внешнего угла треугольника
Внешним углом треугольника называется угол, смежный с внутренним углом треугольника. При каждой вершине треугольника можно построить два равных внешних угла, расположенных по разные стороны от продолжения стороны.
Теорема о сумме внешних углов
Сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.
Доказательство теоремы
- Рассмотрим произвольный треугольник ABC
- Обозначим его внутренние углы как α, β, γ
- По теореме о сумме внутренних углов треугольника: α + β + γ = 180°
- Построим внешние углы при каждой вершине:
- Внешний угол при вершине A = 180° - α
- Внешний угол при вершине B = 180° - β
- Внешний угол при вершине C = 180° - γ
- Найдем сумму внешних углов:
(180° - α) + (180° - β) + (180° - γ) = 540° - (α + β + γ)
- Подставим сумму внутренних углов:
540° - 180° = 360°
Графическое представление
| Вершина | Внутренний угол | Внешний угол |
| A | α | 180° - α |
| B | β | 180° - β |
| C | γ | 180° - γ |
| Сумма внутренних углов | 180° | |
| Сумма внешних углов | 360° | |
Альтернативное доказательство
Рассмотрим движение вокруг треугольника:
- Совершая полный оборот вокруг треугольника, мы поворачиваемся на 360°
- Этот поворот складывается из поворотов на внешние углы
- Следовательно, сумма внешних углов равна полному обороту - 360°
Вывод
Представленные доказательства подтверждают, что сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна 360°, независимо от вида треугольника (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный).
